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Análisis financiero | © John Petroff; contributors: Elisa Tam, Lourdes Sada, Miguel Arce, Thomas Lehwing Source: PEOI |
1) - Componer y descontar un solo monto
Para componer se añade en cada período el interés al principal para generar el valor futuro VF del monto A sujeto a una tasa de interés i a lo largo de t períodos de tiempo
VF t = A(1 + i)t
Otro método para calcular el valor futuro (muy utilizado antes del uso generalizado de las calculadoras) es utilizar tablas precalculadas (1 + i) t, conocidas como factores del valor futuro (FVF). Estos factores del valor futuro se reflejan en tablas que pueden encontrarse en todos manuales actuariales y en muchos manuales financieros. La fórmula se convierte en:
VF = A . FVF i,t
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Por ejemplo, un monto de 1.000$ colocado en una cuenta de ahorros a una tasa de interés anual del 10% por un período de dos años, aumentaría hasta 1.100$ en el primer año (1.000$ de principal más 10% de 1.000$, es decir, 100$ de interés), y a 1.210$ el segundo año (1.100$ de principal más 10% de 1.100$, es decir, 110$ de interés). Aquí el factor del valor futuro es (1 + 0,1) 2 o 1,21, y el valor futuro se obtiene con la fórmula: VF = 1000 (1 + 0,1) 2 = 1000 x 1,21 = $1.210 |
Al descontar, se obtiene el valor
presente VP restando al principal A un interés
igual al principal multiplicado por la tasa de descuento, que se deduce
en cada período hasta que el monto A
esté saldado. En ese caso, se divide (lo contrario
de multiplicar, como hacemos al componer) el monto A por (1 + i)
elevado al número de periodos t.
VP = A / (1 + i) t o VP = A ( 1 + i)- t
Como alternativa, se pueden utilizar los factores del valor presente
reflejados en las mencionadas tablas (FVP).
VP = A . FVP i,t
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Por ejemplo, un monto de 1.000$ que se reciba dentro de dos años, sujeto a un descuento del 10% cada año, tendría un valor de 826,45 $ hoy en día. VP = 1000 / (1 + 0,1) 2 = 1000 / 1,21 = 826,45 $ En las tablas podemos encontrar que el factor del valor presente para una tasa de interés del 10% y un plazo de dos años es 0,82645
VP = 1000 x 0,82645 = 826,45 $
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| En ocasiones, el problema se presenta a la inversa: ¿qué cantidad debe colocarse hoy a una tasa de interés del 10% para obtener un pago de 1.000$ dentro de dos años? Naturalmente, la respuesta es 826,45 $. |
Cuando se tiene o se debe un monto durante menos de un año, hay que añadir o descontar el interés por la fracción correspondiente del año.
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Por ejemplo, una letra del tesoro a180 días, con valor nominal de 10.000$ se compra con un rendimiento de mercado del 10% a un precio de:
LTV = 10.000 / [1 + (0.10(180/360)] = 10.000 / (1 + 0,05)
= 9.523,81 $
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Nota: En el caso de valores estadounidenses comprados con descuento, como en el ejemplo anterior, el número de días del año se redondea a 360, y el número de días en un mes a 30, por convención.
El descuento, así como la composición, se suelen hacer con una base anual. En algunos casos el interés debido u obtenido se registra por períodos más cortos, no sólo una vez, como en el ejemplo anterior, sino de forma regular. Cuando se utiliza un período de tiempo más corto que un año para componer o descontar, se divide la tasa de interés anual, y el número de períodos se multiplica por el número de veces que se paga o carga el interés al año. Por ejemplo, en algunas cuentas de ahorros se solían reflejar trimestralmente los intereses ganados durante el trimestre: en este caso, la tasa de interés es una cuarta parte de la tasa de interés anual, y la composición y el descuento se producen con una frecuencia cuatro veces mayor.
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En el ejemplo anterior, el monto que hoy habrá que colocar para generar 1.000$ en dos años, con composición trimestral, se convierte en un valor presente de VP 0 = 1000 / [1 + (0,1 / 4)]2x4 = 1000 / (1 + 0,025) 8
= 1000 / 1,2184 = 1000 x 0,8207485 = 820,75 $
Por tanto, con la composición trimestral será necesario colocar algo menos que los 826,45$ anteriores. |
Las fórmulas generales para componer y descontar un solo monto cuando se gana o se carga interés m veces en un año, se convierten en:
VF t = A [1 + (i / m)]mt
y
VP 0 = A / [1 + (i / m)]mt
Actualmente, muchos bancos utilizan la composición diaria de intereses en las tarjetas de crédito y en otras cuentas. En ese caso, el factor de composición interanual m es 365.
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Seguimos con el ejemplo de los 1.000$ requeridos dentro de dos años. Con la composición diaria el valor presente es: VP 0 = 1000 / [1 + (0,1 / 365)]2x365 = 1000 / (1 + 0,000274) 730
= 1000 / 1,22137 = 1000 x 0,81875 = 818,75 $
Por tanto, la cantidad necesaria será algo menor que cuando se aplica la composición trimestral. |
En algunos casos, se utiliza la composición continua con ayuda de los logaritmos naturales (o neperianos), y la fórmula del valor presente se convierte en:
VP 0 = A / ei t
donde e es la base de los logaritmos neperianos: 2,7182818 .
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Terminamos la comparación aplicando la
composición continua al nuestro ejemplo
VP 0 = 1000 / e0.1 x 2
= 1000 / 1,2214027 = 1000 x 0,81873 = 818,73 $
El cálculo demuestra que la composición diaria genera casi el mismo resultado que la composición continua. |
En la práctica, aún se siguen utilizando en ocasiones las tablas de factores del valor presente y del valor futuro calculados por actuarios, aunque hoy en día, la mayor parte de las operaciones se pueden realizar con una simple calculadora o un programa informático. Para cronogramas más complejos de pagos de anualidades, hay quien considera que el uso de tablas especializadas es más conveniente y cómodo. Aún así, incluso en este caso, es más rápido el empleo de una calculadora financiera.
Ver las preguntas de revisión Q-2C1.1 hasta Q-2C1.18
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