G- Quelques théorèmes financiers

Il y a un petit nombre de relations bien admises entre les taux de return et entre les taux de return et l'évaluation, qui peuvent être considérées comme des théorèmes. Ces relations sont d'ailleurs utilisées dans tous les travaux de finance comme des postulats.

1 - Le rendement global est égal au rendement de marché des actifs comparables

Cette relation est la conséquence directe du principe expliqué dans la section B du chapitre 1 . En effet, si deux actifs sont vraiment semblables, les investisseurs offriront un prix plus élevé pour celui qui offre le return le plus élevé, ce qui diminuera ce return. L'observation du fait que les rendements des obligations ou les taux de return des actions dans un même secteur sont très semblables confirme que cette relation est universelle.

2- Relation inverse entre les taux de return et les prix des actifs financiers

Un taux de return peut être vu comme la variation d'un revenu périodique ( variation de cours et cash reçu ) I divisé par le prix P :

R = I / P

L'équation établit clairement la relation inversée. On la trouve bien sûr également dans la formulation du prix (ou de la valeur) V qui est une certaine variation du revenu I actualisé (donc divisé ) par un rendement 1+r du marché

V = Sum(I / (1+r) t)

Cette équation confirme la relation inverse entre le prix et le taux de return.

L'évidence empirique du fait que cette relation fonctionne sur les marchés financiers est visible à toutes les annonces de changement de taux de la Banque Centrale qui entrainent une variation instantanée des cours des obligations et des actions. Parfois le changement de taux est anticipé, et les cours se modifient bien avant l'annonce réelle. Cette relation fonctionne toujours et est universelle.

3- Relation directe entre la variation des prix et la maturité

Le théorème précédent montre que tous les prix des actifs financiers varient quand les taux du marché changent. La variation de prix est d'autant plus forte que l'échéance est éloignée. Ceci est la conséquence directe de la formule d'actualisation d'une annuité présentée dans la section C2 de ce chapitre

BP = C ((1 - (1 + i) ^- n) / i) + P (1 + i) ^{- n}

Quand la maturité augmente, (1+i) ^{- n} diminue, la valeur actuelle du principal P devient négligeable et la valeur de l'obligation est la valeur actuelle des paiements des coupons qui tend vers C/i. Comme la démonstration mathématique est un peu compliquée, la valeur actuelle du principal et celle des coupons variant dans des directions opposées, une démonstration simplifiée est employée ici. Deux formules correspondant aux extrêmes sont expliquèes avec un exemple numérique clair.

D'abord prenons une échéance très courte. Si l'actif financier a juste un an d'échéance, quand le taux change par un facteur de d, la variation de prix sera

(P1-p0)/p0 = P1/p0 -1 = ((P/(1+di)) / (P/(1+i))) - 1

= (1+i)/(1+di) - 1

Maintenant, prenons une échéance longue. Si l'actif financier a une vie infinie, le même changement de taux d et la variation de prix seront identiques

(P1-p0)/p0 = P1/p0 -1 = () (De P/di / (P/i)) - 1

= 1/d -1

Pour illustrer le rapport entre l'ampleur de la variation de prix et la maturité, le graphique G-2.2 ci-dessous présente le changement relatif du prix d'une obligation de $10.000 et coupon de $1.000 pour des échéances d'un à 50 ans avec une baisse de taux d'intérêt de 90% (c.-à-d. le taux chute de 0,1 à 0,09). Graphique G-2.2 Le graphique G-2.2 montre que, si l'obligation a un an d'échéance, la variation du prix est proche de 1% (ou (1.1/1.09)-1=0.009174 pour être exact). Au fur et à mesure que l'échéance augmente, la variation du prix augmente et devient asymptotique à un maximum de 11% (ou exactement (1/0.9)-1=0.11111).

Pour les valeurs choisies dans cet exemple, on peut noter que l'écart de variation est loin d'être insignifiant: La variation de prix d'une obligation de 20 ans d'échéance est dix fois plus grand que la variation de prix d'une obligation de deux ans d'échéance pour une variation de juste 0,01 % des taux d'intérêt. Cette relation est valable pour toutes les niveaux de coupons, de taux actuariels et de variation de taux.

4 - Relation directe entre le risque de taux et la maturité.

Le risque du taux d'intérêt est mesuré par la variation de la valeur d'un portefeuille du fait des variation du taux d'intérêt. Cette relation est une conséquence directe du théorème précédent: Plus les échéances sont éloignées, plus grande sera la variation de prix résultant d'un changement de taux, et donc plus grand sera le risque de taux.

5 - L'importance de la prime (ou de la décote) d'une obligation est fonction de l'importance du taux coupon par rapport au taux actuariel.

Une prime (ou une décote) Pr est la différence entre le cours de l'obligation BV et sa valeur au pair P.

P.r. = Bv - P

En remplaçant le cours de l'obligation par la formule précédemment décrite dans la section C2 de ce chapitre et en substituant au coupon C le produit de la valeur au pair P par le taux coupon CR on obtient

P.r. = P.cr ((1 - (1 + i) ^- n) / i) + P (1 + i) ^{- n} - P

La valeur relative de la prime /décote par rapport à la valeur au pair Pr est

Pr/P = Cr ((1 - (1 + i) ^- n) / i) + (1 + i) ^{- n} - 1

ou après simplication

Pr/P = (Cr - i) (1 - (1 + i) ^- n) / I

Ainsi, Pr/P est une fonction de la différence entre le taux coupon et le taux du marché CR-i.

En corollaire: une obligation offre une prime si le taux coupon est plus grand que le taux du marché et une décote si il lui est inférieur.

Dans le graphique G-2.3, la taille relative de la prime ou la décote est montrée pour tous les taux de marché de 0,01 à 0,21 pour une obligation avec un taux coupon 0,1 et 10 ans d'échéance. À un taux de marché de 0,1 il n'y a ni prime ni décote. Graphique G-2.3

Cette relation est valable dans tous les cas.

6 - L'importance de la prime ou de la décote est fonction de la maturité

Dans la formule ci-dessus

Pr/P = (Cr - i) (1 - (1 + i) ^- n) / I

plus n est grand, plus petit est (1 + i) ^{- n} et plus grand est (1 - (1 + i) ^- n) / I et aussi par conséquent, plus est grande la prime (ou la décote). Pour une obligation perpétuelle à durée indéterminée, ou n est égal à l'iinfini , la prime est

Pr/P = (Cr - i)/i = CR/i -1

Le graphique G-2.4 de ci-dessous montre l'évolution relative de la prime mesurée comme le rapport prime/valeur au pair pour une obligation avec un taux coupon de 0,01 et un taux actuariel de 0,09 pour des échéances de un à 57 ans. Graphique G-2.4

Cette relation est toujours valable.

7 - Plus l'échéance approche plus le cours se rapproche de la valeur au pair

Cette relation est identique à la précédente.Elle est néanmoins utile parce qu'elle montre clairement l'évolution de la valeur de l'obligation en fonction du temps.

Le graphique G-2.5 montre la valeur d'une obligation au fur et à mesure que l'échéance approche avec un taux coupon de 10% et un taux actuariel de 9%. A l'échéance la valeur de l'obligation est égale à sa valeur au pair de $10.000. Graphique G-2.5

Cette relation est universelle.

8 - Si une obligation se vend avec une décote, CR < CY< YTM

On a montré dans le théorème 5 ci-dessus que basé sur la relation

Pr/P = (Cr - i) (1 - (1 + i) ^- n) / I

une obligation se vend avec une décote si CR-i est négatif (c.-à-d. si le taux coupon est plus petit que le taux actuariel).

Puisque le taux coupon CY est

CY = C / BV

et que la décote implique que le prix de l' obligation BV est plus petit que la valeur au pair P, alors

C/P < C/BV ou CR<CY

En outre, le taux coupon n'a d'importance que pour le revenu, mais le taux actuariel incorpore en outre l'appréciation du cours (et nous savons que le prix montera nécessairement comme l'échéance approche selon le théorème 7). Par conséquent, le taux coupon est plus petit que le taux actuariel pour une obligation se vendant avec une décote. En combinant les deux l'inégalités :

CR<CY<YTM

Cette relation est toujours valable.. Un parallèle peut être établi entre les actions et les obligations : si une action est sous-cotée son rendement ( en dividende) est inférieur au taux de return exigé ajusté du risque.

9 - Si une obligation offre une prime, CR>CY>YTM

La démonstration est exactement l'inverse de la précédente.

Non-théorème 10 - Les returns sur les actifs financiers risqués varient plus que les returns sur des actifs plus sûrs

La théorie moderne du portefeuille (exposée dans la section E de ce chapitre) montre que plus la volatilité ( c.-à-d. le BÊTA) est grande plus le taux de return est élevé. Ceci implique que les actifs à risque et return élevé ont une dispersion plus importante que les actifs à faible risque et return. Cette relation peut être utilisée pour faire des prévisions sur les performances futures. Cette relation peut cependant être fausse dans le temps et selon le type d'actif.

L'évidence empirique donne de la crédibilité à cette relation en particulier pour les actions de petites sociétés et les sociétés peu suivies. Cependant, cette relation ne devrait pas être considérée comme un théorème car elle n'est pas toujours valable. C'est le cas lorsque une condition nécessaire est remplie (des actifs plus volatils ont un plus haut return) mais la condition n'est pas toujours suffisante (des actifs à haut return n'ont pas toujours une volatilité élevée).

En conclusion de cette section, on observera que, exceptée la dernière relation, tous les autres théorèmes qui ont été développés sur la base de la formule des obligations sont également applicables à tous les autres actifs financiers.

Voir les questions de révision de Q-2G.1 à Q-2G.4

Voir le travail de recherche R-2G.1

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Modifié: 2010-06-18

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