ANALYSE FINANCIERE | © John Petroff Traduction: Françoise BRUNELLE Source: PEOI |
2) - Annuités
Comme on a pu s'en rendre compte avec la formule de la valeur dans la section A ci-dessus, l'évaluation consiste en l'addition d'une série de montants futurs. Si les montants futurs sont tous identiques, alors on les appelle des annuités. Les mathématiques actuarielles fournissent une méthode commode et rapide pour calculer les résultats. La valeur future d'une annuité est telle que
FVA = A(1+i) + A(1+i) 2 +... + A(1+i) n
ou FVA = A [ (1+i) + (1+i) 2 +... + (1+i) n ]
où la somme des termes à l'intérieur des parenthèses peut être simplifiée (voir l'annexe) ce qui donne
FVA = A ((1+i) n - 1)/i
La valeur actuelle d'une annuité s'écrit
PVA = A/(1+i) + A/(1+i) 2 +... + A/(1+i) n
ou PVA = A [ 1/(1+i) + 1/(1+i) 2 +... + 1/(1+i) n ]
la somme des termes dans les parenthèses peut également être simplifiée (voir l'annexe) et donne
Les tables actuarielles fournissent des coefficients précalculés à la fois pour les calculs d'annuités des valeurs futures
et les calculs d'annuité des valeur actuelle
Vérifions l'utilisation de ces équations avec des exemples simples. De quelle quantité pourra disposer un épargnant qui dépose $500 tous les ans pendant 20 ans dans un compte d'épargne rapportant 8% par an annuellement ? La réponse est FVA = 500 ((1 + 0,08) 20 - 1) / 0,08 = 500 x 45,762 = $22.881 Le facteur de calul d'annuité pour 8% et 20 ans est 45,762, et donne naturellement le même résultat FVA = 500 x 45,762 = $22,881 |
Une obligation paye un coupon C qui est une annuité, et un principal P à l'échéance. Sa valeur BP est la somme des valeurs actuelles des deux termes
BP = C ((1 - (1 + i) - n) / i) + P (1 + i) - n
Employer les coefficients précalculés est rapide et commode quand les taux d'intérêt sont des nombres ronds, les annuités sont payées une fois par an et exactement dans un an. Autrement des étapes additionnelles sont nécessaires. Quand le taux d'intérêt n'est pas un nombre rond, les coefficients peuvent être obtenus à partir des tables actuarielles disponibles dans quelques bibliothèques. L'interpolation en utilisant des coefficients pour des taux d'intérêt au-dessus et au-dessous du taux d'intérêt donné, peut donner un résultat approximatif. Mais pour la plupart des analystes, une calculatrice financière est un investissement qui donne un profit réel immédiat et la meilleure alternative. Si la première annuité est payée dans moins d'un an, deux étapes sont nécessaires : calculer les valeurs futures ou présentes des annuités, puis ajouter l'intérêt pour le nombre de jours depuis la dernière date de coupon.
On peut égalemenr réaliser des calculs intraannuels avec ces formules : comme précédemment il faut juste diviser le taux d'intérêt par le nombre de fois m où l'intérêt est calculé durant l'année, puis multiplier le nombre d'années par m. Le prix BP de l'obligation est
BP = C ((1 - (1 + (I / m)) -mn) / (I / m)) + P (1 + I / m) -mn
Beaucoup d'obligations payent des coupons deux fois par an,m = 2 , et le prix BP de l'obligations est
BP = C ((1 - (1 + (I / 2)) de -2n / (I / 2)) + P (1 + I / 2) -2n
Pour un exemple, voir le calcul de la valeur d'une obligation dans la section A-1 du chapitre 3
Quand une annuité est perpétuelle, alors la valeur actuelle de l'annuité peut être simplifiée (voir l'annexe pour l'explication de la simplification)
PVA = A / I
Pour terminer, si on suppose que les montants futurs reçus chaque année croissent à un taux constant g, alors la valeur actuelle de cette série de montants est
PVA = A / (I - g)
Tandis que les mathématiques actuarielles donnent des réponses à beaucoup d'autres problèmes de finance, le reste de ce livre emploiera principalement les formules simplifiées présentées ici. Comme on l'a déjà suggéré dans les remarques générales initiales, il y a tellement d'approximation dans les calculs d'évaluation des revenus futurs, des coûts, aussi bien que des taux d'actualisation, que l'imprécision de ces évaluations rend la précision disponible à partir des mathématiques actuarielles presque superflue dans la plupart des analyses financières. Mais cela est vrai seulement à l'étape analytique. Une fois que chacun des éléments d'une évaluation (c'est-à-dire, le taux d'intérêt payé ou recu, les dates et les montants de chaque paiement) sont connus ou décidés par avance comme par exemple dans un contrat de prêt, ou dans la vente d'un papier déja émis, alors, les deux parties (c-à-d.un emprunteur et un prêteur ou un acheteur et un vendeur) détermineront le montant ou les montants à payer avec une grande précision, de l'ordre du centime, en utilisant les formules actuarielles présentées précédemment.
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