ANALYSE FINANCIERE  © John Petroff Traduction: Françoise BRUNELLE Source: PEOI

 


Chapitre 2 C-2- Annuités

2) - Annuités

Comme on a pu s'en rendre compte avec la formule de la valeur dans la section A ci-dessus, l'évaluation consiste en l'addition d'une série de montants futurs. Si les montants futurs sont tous identiques, alors on les appelle des annuités. Les mathématiques actuarielles fournissent une méthode commode et rapide pour calculer les résultats. La valeur future d'une annuité est telle que

FVA = A(1+i) + A(1+i) 2 +... + A(1+i) n

ou FVA = A [ (1+i) + (1+i) 2 +... + (1+i) n ]

où la somme des termes à l'intérieur des parenthèses peut être simplifiée (voir l'annexe) ce qui donne

FVA = A ((1+i) n - 1)/i

La valeur actuelle d'une annuité s'écrit

PVA = A/(1+i) + A/(1+i) 2 +... + A/(1+i) n

ou PVA = A [ 1/(1+i) + 1/(1+i) 2 +... + 1/(1+i) n ]

la somme des termes dans les parenthèses peut également être simplifiée (voir l'annexe) et donne

PVA = A / (1 - (1+i) - n /i

Les tables actuarielles fournissent des coefficients précalculés à la fois pour les calculs d'annuités des valeurs futures

FVAF = ((1+i) n - 1)/i

et les calculs d'annuité des valeur actuelle

PVAF = (1 - (1+i) - n /i

Vérifions l'utilisation de ces équations avec des exemples simples. De quelle quantité pourra disposer un épargnant qui dépose $500 tous les ans pendant 20 ans dans un compte d'épargne rapportant 8% par an annuellement ? La réponse est

FVA = 500 ((1 + 0,08) 20 - 1) / 0,08 = 500 x 45,762 = $22.881

Le facteur de calul d'annuité pour 8% et 20 ans est 45,762, et donne naturellement le même résultat

FVA = 500 x 45,762 = $22,881

Une obligation paye un coupon C qui est une annuité, et un principal P à l'échéance. Sa valeur BP est la somme des valeurs actuelles des deux termes

BP = C ((1 - (1 + i) - n) / i) + P (1 + i) - n

En 1995, un porteur d'obligation ATT 6 3/4, 2005 envisage de vendre son titre $10.000. Que devrait être le prix de vente si le taux actuariel sur les obligations comparables est 7%, le coupon de $675 (ou 10000 x 0,0675) est payé annuellement, le premier coupon sera payé exactement dans un an, et le 10ème et dernier coupon dans 10 ans exactement avec le principal ? Le prix de vente BP est :

BP = 675((1 - (1 + 0,07) -10 / 0,07) + 10000 / (1 + 0,07) 10

= 675 x 7,0236 + 10000 x 0,5083 = $9.823,93

Employer les coefficients précalculés est rapide et commode quand les taux d'intérêt sont des nombres ronds, les annuités sont payées une fois par an et exactement dans un an. Autrement des étapes additionnelles sont nécessaires. Quand le taux d'intérêt n'est pas un nombre rond, les coefficients peuvent être obtenus à partir des tables actuarielles disponibles dans quelques bibliothèques. L'interpolation en utilisant des coefficients pour des taux d'intérêt au-dessus et au-dessous du taux d'intérêt donné, peut donner un résultat approximatif. Mais pour la plupart des analystes, une calculatrice financière est un investissement qui donne un profit réel immédiat et la meilleure alternative. Si la première annuité est payée dans moins d'un an, deux étapes sont nécessaires : calculer les valeurs futures ou présentes des annuités, puis ajouter l'intérêt pour le nombre de jours depuis la dernière date de coupon.

On peut égalemenr réaliser des calculs intraannuels avec ces formules : comme précédemment il faut juste diviser le taux d'intérêt par le nombre de fois m où l'intérêt est calculé durant l'année, puis multiplier le nombre d'années par m. Le prix BP de l'obligation est

BP = C ((1 - (1 + (I / m)) -mn) / (I / m)) + P (1 + I / m) -mn

Beaucoup d'obligations payent des coupons deux fois par an,m = 2 , et le prix BP de l'obligations est

BP = C ((1 - (1 + (I / 2)) de -2n / (I / 2)) + P (1 + I / 2) -2n

Pour un exemple, voir le calcul de la valeur d'une obligation dans la section A-1 du chapitre 3

Quand une annuité est perpétuelle, alors la valeur actuelle de l'annuité peut être simplifiée (voir l'annexe pour l'explication de la simplification)

PVA = A / I

Prenons l'exemple d'une rente ou d'un consolidé (qui est une obligation à perpétuité ce qui est plutôt rare, mais existe toujours au Royaume-Uni.) avec un coupon annuel de $40 et un taux sur les obligations comparables de 2,5%, la valeur d'une telle rente est

CV = 40 / 0,025 = $1.600

Pour terminer, si on suppose que les montants futurs reçus chaque année croissent à un taux constant g, alors la valeur actuelle de cette série de montants est

PVA = A / (I - g)

Tandis que les mathématiques actuarielles donnent des réponses à beaucoup d'autres problèmes de finance, le reste de ce livre emploiera principalement les formules simplifiées présentées ici. Comme on l'a déjà suggéré dans les remarques générales initiales, il y a tellement d'approximation dans les calculs d'évaluation des revenus futurs, des coûts, aussi bien que des taux d'actualisation, que l'imprécision de ces évaluations rend la précision disponible à partir des mathématiques actuarielles presque superflue dans la plupart des analyses financières. Mais cela est vrai seulement à l'étape analytique. Une fois que chacun des éléments d'une évaluation (c'est-à-dire, le taux d'intérêt payé ou recu, les dates et les montants de chaque paiement) sont connus ou décidés par avance comme par exemple dans un contrat de prêt, ou dans la vente d'un papier déja émis, alors, les deux parties (c-à-d.un emprunteur et un prêteur ou un acheteur et un vendeur) détermineront le montant ou les montants à payer avec une grande précision, de l'ordre du centime, en utilisant les formules actuarielles présentées précédemment.

Voir les questions de révision de Q-2C2.1 à Q-2C2.15

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