ANALYSE FINANCIERE  © John Petroff Traduction: Françoise BRUNELLE Source: PEOI

 


Chapitre 2 C-1- Actualisation sur un montant unique

1) - Intérêts composés et actualisation sur un montant unique

Calculer les intérêts composés consiste à ajouter l'intérêt au principal à chaque période de temps pour obtenir la valeur future FV de la somme A placée à un taux d'intérêt i durant t périodes

FV t = A(1+i) t

Une autre méthode pour calculer la valeur future (particulièrement populaire avant l'invention des calculatrices) est d'employer les produits précalculés (1+i) t connus sous le nom de coefficients de valeur future (FVF ou Future Value Factors en anglais). Ces coefficients de valeur future se trouvent dans les tables de tous les manuels de mathématiques actuarielles et beaucoup de manuels de finance. La formule devient

FV = A.FVF i,t

Par exemple, une quantité de $1.000 placés dans un compte d'epargne rapportant un taux d'intérêt d'intérêt de 10% par an pendant une période de deux ans, deviendrait $1.100 la première année ($1.000 de principal plus 10% de $1.000, ou $100 d'intérêt), et $1.210 la deuxième année ($1.100 de principal plus 10% de $1.100, ou $110 d'intérêt). Ici le coefficient de valeur future est (1+0,1) 2 ou 1,21, et la valeur future peut être obtenue avec la formule

FV = 1000 (1 + 0,1) 2 = 1000 x 1,21 = $1.210

En matière d'actualisation, la valeur actuelle est obtenue en diminuant le principal d'un intérêt qui est égal au principal multiplié par le taux d'actualisation, et qui est appliqué à chaque période jusqu' à ce que la somme A soit payée ou reçue. La somme A est divisée (et non multipliée comme dans le calcul d'intérêts composés) par t fois (1 + i)

Pv = A/(1+i) t ou PV = A(1+i) - t

Ou on peut utiliser des coefficients de valeur actuelle que l'on trouve dans les tables actuarielles

Pv = A.pvf i,t

Par exemple, une quantité de $1.000 à recevoir dans 2 ans et soumise à un taux d'actualisation de 10% par an, aurait une valeur actuelle, ou vaudrait aujourd'hui, $826,45

Pv = 1000 / (1 + 0,1) 2 = 1000 / 1,21 = $ 826,45

En utilisant des tables, on constate que le coefficient d'actualisation pour un taux de 10% et pour deux années, est 0,82645

Pv = 1000 x 0,82645= $826,45

 

Le problème est parfois présenté de façon inverse: quelle quantité doit être placée aujourd'hui à un taux d'intérêt de 10% pour permettre un paiement de $1.000 dans deux ans ? La réponse est naturellement $826,45.

Quand une somme est détenue ou due pendant moins d'une année entière, l'intérêt qui doit être ajouté ou retranché est calculé pour une fraction d'année.

Par exemple, un bon du Trésor à 180 jours, de valeur nominale $10.000 est acheté avec un rendement du marché de 10% pour un prix de

TBV = 10000 / (1 + (0.10(180)/(360))) = 10000 / (1 + 0,05) = $9.523,81

Notez que dans les calculs des prix des titres achetés avec un discompte (décote) aux Etats Unis, comme dans l'exemple ci-dessus, le nombre de jours de l' année est arrondi à 360, et le nombre de jours du mois est arrondi à 30, par convention.

Actualiser, aussi bien que calculer des intérêts composés, est normalement réalisé sur une base annuelle. Dans certains cas l'intérêt dû ou gagné est appliqué sur des périodes plus courtes qu'une année, pas simplement une fois comme dans l'exemple ci-dessus, mais de façon régulière. Quand une période plus courte qu'une année complète est utilisée pour calculer des intérêts composés ou actualiser, le taux d'intérêt annuel est divisé, et le nombre de périodes est multiplié par le nombre de fois où l'intérêt est payé ou prélevé dans l'année. Par exemple, certains comptes d'épargne sont crédités par trimestre pour l'intérêt gagné pendant le trimestre; alors le taux d'intérêt est un quart du taux d'intérêt annuel, et le calcul des intérêts composés ou le calcul d'actualisation a lieu quatre fois plus souvent.

Dans l'exemple plus haut, le montant qui doit être placé aujourd'hui pour produire $1.000 dans deux ans, devient, avec un calcul trimestriel, une valeur actuelle de

Pv 0 = 1000 / (1 + (0,1 / 4)) 2x4 = 1000 / (1 + 0,025) 8

= 8207485 de x de 1000 / 1,2184 = 1000 = $820,75

Ainsi, un peu moins que les $826,45 précédents est nécessaire avec des intérêts trimestriels.

Les formules générales de calcul des intérêts composés ou d'actualisation dans le cas d'un montant unique quand l'intérêt est prélevé ou gagné m fois par an deviennent

FV t = A(1+i/m) mt

et

Pv 0 = A/(1+i/m) mt

Beaucoup de banques aujourd'hui utilisent des calculs quotidiens pour les intérêts des cartes de crédit et d'autres comptes. Dans ce cas, le facteur intra annuel m est 365.

Continuons avec l'exemple des $1.000 dont on a besoin dans deux ans. Avec le calcul à intérêts quotidiens la valeur actuelle est

Pv 0 = 1000 / (1 + (0,1 / 365)) 2x365 = 1000 / (1 + 0,000274) 730

= 1000 / 1,22137 = 1000 x 0,81875 = $818,75

Ainsi, avec le calcul à intérêts quotidiens la somme est moindre qu'avec les intérêts trimestriels.

Dans certains cas, un intérêt continu est appliqué avec l'aide des logarithmes naturels (ou Népérien), et la formule de la valeur actuelle devient

Pv 0 = A / e il

où e est la base des logarithmes naturels soit 2,7182818.

Continuons la comparaison avec notre exemple de $1.000 exigé dans deux ans, avec le calcul à intérêts continus

Pv 0 = 1000 / e 0.1x2

= 1000 / 1,2214027 = 1000 x 0,81873 = $818,73

Le résultat montre que le calcul quotidien donne presque le même résultat que le calcul en continu.

Dans la pratique, les tables des coefficients de valeur future et de valeur actuelle qui ont été calculés par des actuaires et publiés dans des livres, sont parfois encore utilisées. Aujourd'hui, la plupart des opérations peuvent être réalisées avec une calculatrice ordinaire ou sur un ordinateur. Pour des programmes de remboursement complexes des annuités, certains peuvent trouver l'utilisation des tables spécialisées commode et visuellement confortable. Mais, même dans ce cas, l'utilisation d'une calculatrice financière peut être plus rapide.

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