© 2000 John Petroff. Traducción: 2004 Thomas Lehwing, 2006 Miguel Arce

2) - Anualidades

Como se hizo evidente en la fórmula general del valor en la sección A, la valoración implica la adición de una serie de montos futuros. Cuando los montos futuros son todos idénticos, se denominan anualidades. La matemática actuarial proporciona un método conveniente y rápido para obtener resultados. El valor futuro de una anualidad se describe como:

VFA = A(1 + i) + A(1 + i)2 +... + A(1 + i)n

o VFA = A [(1 + i) + (1 + i)2 +... + (1 + i)n]

donde la suma de los términos entre paréntesis puede simplificarse (véase el apéndice), resultando:

VFA = A [(1 + i)n - 1] / i

El valor presente de una anualidad se expresa como:

VPA = A / (1 + i) + A / (1 + i)2 +... + A / (1 + i)n

o VPA = A [ 1 / (1 + i) + 1 / (1 + i)2 +... + 1 / (1 + i)n ]

donde la suma de los términos entre paréntesis también puede simplificarse (véase el apéndice), resultando:

VPA = A / [(1 - (1 + i)- n ] / i

Las tablas actuariales precalculadas proporcionan tanto los factores de valor futuro de las anualidades (FVFA)

FVFA = [(1 + i)n - 1] / i

como los factores de valor presente de las anualidades (FVPA)

FVPA = [1 - (1 + i]- n / i

Verifiquemos la utilización de estas fórmulas con ejemplos simples. ¿De qué cantidad dispondrá un ahorrador que coloque 500$ al año durante 20 años en una cuenta de ahorros a un interés del 8% anual? La respuesta es:

VFA = 500 [(1 + 0,08)20 - 1] / 0,08 = 500 x 45,762 = 22.881 $

El factor del valor futuro de una anualidad al 8% y 20 años es de 45,762, y naturalmente genera el mismo resultado:

VFA = 500 x 45,762 = 22.881 $

Un bono paga un cupón C, que es una anualidad, y un principal P a su vencimiento. Su valor presente BP es la suma de los valores actuales de ambos montos:

BP = C {[(1 - (1 + i)-n] / i} + P (1 + i)- n

En 1995, un accionista considera la venta de un bono ATT de valor nominal de 10.000$, con tasa de interés del 6 ¾ y vencimiento en 2005. ¿Cuál debe ser el precio de venta si el rendimiento actual de los bonos comparables es del 7%, se paga anualmente un cupón de 675$ (o 10.000 x 0,0675), el primer cupón se pagará dentro de un año exacto, y el 10° y último cupón, junto el principal, dentro de exactamente 10 años? El precio de venta actual del bono BP es:

BP = 675 [(1 - (1 + 0,07) -10 / 0,07] + 10.000 / (1 + 0,07) 10

= 675 x 7,0236 + 10.000 x 0,5083 = 9.823,93 $

La utilización de los factores es rápido y conveniente cuando las tasas de interés son números enteros, las anualidades se pagan una vez al año y exactamente dentro de un año a partir de hoy. En otro caso, hacen falta más operaciones. Cuando la tasa de interés no es un número redondo, los factores se pueden obtener de los libros actuariales que se encuentran en algunas bibliotecas. Se puede obtener un resultado aproximado interpolando el factor a partir de los factores para las tasas de interés por encima y por debajo de la tasa de interés dada. Sin embargo, para la mayoría de los analistas, una calculadora financiera es  la mejor alternativa: se convierte en una inversión con retornos muy tangibles e inmediatos. Si el plazo hasta la primera anualidad es menor de un año, son necesarios dos paso: calcular los valores futuros o presentes de las anualidades, y después añadir intereses acumulados en los días que han pasado desde la fecha del cupón anterior.

En estas fórmulas también puede utilizarse la composición interanual: como antes, sólo hay que dividir la tasa de interés por el número de veces (m) que se compone el interés a lo largo del año, y multiplicar el número de años (n) por m. El precio presente del bono es:

BP = C {[1 - (1 + (i / m))-mn] / (i / m)} + P (1 + i / m)-mn

La mayoría de los bonos pagan cupones semestralmente, es decir m = 2, por lo que el precio de venta presente del bono es

BP = C {[1 - (1 + (i / 2)) -2n ] / (i / 2)} + P (1 + i / 2) -2n

Ejemplo: ver el cálculo del valor del bono en la sección A-1 del capítulo 3.

Cuando una anualidad se supone perpetua, puede simplificarse su valor presente (en el apéndice se demuestra esta simplificación):

VPA = A / i

Tomemos el ejemplo de un consol (o anualidad consolidada, un tipo de bono emitido en perpetuidad, que aunque raro, también existe en el Reino Unido) con un cupón anual de 40$ y un retorno del 2,5% respecto a emisiones comparables. El valor de dicho consol es:

VC = 40 / 0,025 = 1.600 $

Finalmente, si se supone que los montos que se irán recibiendo cada año crecen a una tasa constante g, el valor presente de esa serie de valores es:

VPA = A / (i - g)

Aunque que la matemática actuarial da respuesta a muchos otros problemas financieros, en el resto de este libro se utilizarán sobre todo las fórmulas simplificadas aquí presentadas. Como se ha mencionado en las observaciones generales del principio, es tal la inexactitud de las estimaciones de ingresos por ventas, costos, y tasas de descuento futuras, que su imprecisión hace que para la mayor parte del análisis financiero sea casi redundate la precisión que puede obtenerse con la matemática actuarial, aunque esto sólo se aplica a la etapa analítica. Una vez que los elementos de una valoración (es decir, la tasa de interés que se carga o gana, las fechas y los montos de cada pago) se conozcan o acuerden, por ejemplo, en un contrato de préstamo o en la venta de un pagaré, las dos partes (es decir, prestatario y prestamista, o comprador y vendedor) determinarán el monto o los montos que se pagarán con precisión de dos decimales, utilizando las fórmulas actuariales que hemos estudiado.

Ver las preguntas de revisión Q-2C2.1 hasta Q-2C2.15

Ver las tareas de investigación R-2C.1 y R-2C.2

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Última revisión: 04/07/2007
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