© 2000 John Petroff; 2007 Übersetzung Hans H. Knauf; 2007 edited by Tanja Detwiler
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© 2000 John Petroff; 2007 Übersetzung Hans H. Knauf; 2007 edited by Tanja Detwiler |
2) Dekomposition (fortgesetzt)
Um den Trend aus den Daten herauszugliedern, könnte man eine OLS-Regression mit einer linearen oder nicht linearen Annahme an den saisonal angepassten Daten durchführen. Die Regression wird an saisonal angepassten Daten durchgeführt, um saisonbedingte Verzerrungen zu vermeiden. Der b-Koeffizient gibt die Wachstumsrate an. Zur Vereinfachung der Berechnung werden die Zeitperioden von – tt/2 bis +tt/2 kodiert, wobei tt die Gesamtzahl der Zeitperioden darstellt. Das heißt also für die 144 monatlichen Beobachtungen von Januar 1985 bis Dezember 1996, dass der Januar 1985 -72 und der Dezember 1996 +72 wäre. Das vereinfacht die Formeln für die Koeffizientenschätzungen (wie bereits im vorigen Abschnitt vorgestellt), weil die Summe von t (d. h. ‘X’ in dem vorherigen Abschnitt) ist dann gleich null. Die Koeffizientenschätzung a* (d. h. der Achsenabschnitt) ist dann einfach
a* = sum(Yt) / n = E(Y)
Koeffizientenschätzung b* ist
b* = sum(ttYt) / sum(tt2)
wie man mittels der im Anhang genannten Ableitungen überprüfen kann. Die Kalkulation der Trendwerte Tt für jeden Monat (d. h. der angepasste Wert mit dem Trend) kann genauso einfach direkt in einem Spreadsheet kalkuliert werden, wenn man die folgende Formel anwendet:
Tt = a + b Yt = E(Y) + Yt(sum(ttYt)/ sum(tt2))
Nachdem man die ursprünglichen Daten durch die saisonalen Indexe (St) und die Trendwerte (Tt) dividiert hat, bleibt lediglich ein mögliches zyklisches Muster übrig, und unregelmäßige (d. h. wahllose) Schwankungen mögen auch noch da sein. Das zyklische Muster wird mittels einer gleitenden Durchschnittsprozedur geschätzt, ähnlich der für saisonale Schwankungen. Die Länge des Zyklus muss natürlich von dem Analysten festgelegt werden, leider gibt es jedoch für diese Wahl keine theoretische Anleitung. Je länger die gewählte Zykluslänge, desto mehr unregelmäßige Variationen werden eliminiert.
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Entfernen wir den Trend von den jetzt desaisonalisierten Umsatzzahlen, erhalten wir das in der untenstehenden Grafik G-5.5 gezeigte Residuum.  Die Grafik G-5.5 zeigt, dass die ungewöhnlichen Spitzen in März 1997 und Februar 1998 Ausreißer sind. Ein Analyst wird diese Ausreißer aus den ursprünglichen tatsächlichen Daten entfernen, sie mit den saisonal angepassten Durchschnitten für diese Monate ersetzen und eine neue Dekomposition mit einer verbesserten Vorhersagequalität erstellen wollen. Diese Vorhersagen können jedoch auch ohne die Entfernung der Ausreißer durchaus akzeptable sein. In unserem Beispiel haben wir den zyklischen Teil aus den Daten unter der Annahme eines sechs monatlichen Musters entfernt. Der letzte Schritt besteht darin, die vorhergesagten Werte zu zeigen, die man erhält, indem man die Zeit mit den Schätzungen von b* multipliziert und a* addiert, um die Trendwerte zu bilden, und dann mit den saisonalen Indexen und zyklischen Indexen multipliziert. Die Kalkulation der vorhergesagten Werte wird in Anhang 5b gezeigt. Weiterhin werden die vorhergesagten Werte in der untenstehenden Grafik G-5.6 abgebildet.  Die Grafik G-5.6 zeigt sehr eindeutig, dass die vorhergesagten Werte innerhalb dieses Datenbeispiels sehr gut mit den tatsächlichen Werten übereinstimmen. Man kann die vorhergesagten Werte, die über unser Beispiel (in der Grafik für Januar bis Dezember 2000 in grün gezeichnet) hinausgehen, ebenfalls als zuverlässige Vorhersagen betrachten. |
Die traditionelle Dekompositionsmethode ergibt sehr gute Schätzwerte für den Zeitraum des Beispiels, weil alle Schätzungen mit den Zahlen des Beispiels selbst bestimmt werden. Über den Beispielszeitraum hinaus sind die Vorhersagen immer noch für ein oder zwei Monate annehmbar. Die Genauigkeit ist tatsächlich so gut, dass die US-Regierung diese Methode (Census II genannt) benutzt, um Vorhersagen über Einkommen und Verbrauch zu erstellen. Es wäre jedoch gefährlich sich mehr als ein Jahr über den Beispielszeitraum hinaus auf Vorhersagen zu verlassen, die nur mit dieser Methode erstellt wurden.
Wiederholungsfragen Q-5F5.1.
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