(c) 2000 John Petroff; 2006 Übersetzung Hans H. Knauf

G- Ein paar Finanz Lehrsätze

Es gibt eine kleine Anzahl gern benutzter Bedingungen unter den Ertragsraten und den Ertragsraten mit Werten, die man auch als Lehrsätze bezeichnen kann. Im gesamten Feld der Finanzliteratur werden diese Beziehungen tatsächlich benutzt.

1 - Der Gesamtertrag (Rendite) ist gleich dem Marktertrag für vergleichbare Vermögenswerte

Diese Verbindung ist eine direkte Konsequenz aus dem Dominanzprinzip, welches in Kapitel 1 Abschnitt B besprochen wurde. Sind zwei Vermögenswerte sehr ähnlich, so treiben Investoren den Preis für den Vermögenswert mit dem höheren Gewinn nach oben und dadurch wird der Gewinn reduziert. Man kann dies sehr gut bei den Anleihe- und den Aktien-Renditen von Firmen der gleichen Industrie sehen. Das bestätigt, dass diese Beziehung universal ist.

2- Umgekehrte Beziehung zwischen Renditen und den Preisen aller finanzieller Vermögenswerte

Alle Renditen "R" sind eine Abwandlung des regelmäßig wiederkehrenden Einkommens (Preisveränderung plus Barzahlung) "I" geteilt durch den Preis "P"< /P>

R = I / P

Die Gleichung zeigt sehr deutlich diese umgekehrte Beziehung. Natürlich ist diese auch vorhanden in der Formel für Preis (oder Wert) "V" einer Abwandlung des Einkommen Flows "I" mit (d.h. geteilt durch) den Marktgewinn "1+R"

V = Summe( I / (1+R)^t)

Diese Gleichung bestätigt die umgekehrte Beziehung zwischen Preis und Rendite.

Der empirische Nachweis dafür, dass diese Beziehung auf den Finanzmärkten Anwendung findet, ist jede Veröffentlichung des "Federal Reserve Board" in Bezug auf Zinsen, welches einen sofortigen Sprung in den Anleihe- und Aktienpreisen auslöst. Manchmal werden Zinsveränderungen auch vorweggenommen, und die Preise verändern sich vor der eigentlichen Veröffentlichung. Dieses Verhältnis stimmt immer und ist universal.

3- Das direkte Verhältnis zwischen Preisveränderung und Fälligkeit

Der vorige Lehrsatz stellte fest, dass sich die Preise aller finanzieller Vermögenswerte verändern, wenn sich die Marktzinsen ändern. Je weiter entfernt die Fälligkeit, desto größer ist die Preisveränderung. Dies ist eine direkte Konsequenz aus der Formel für die Diskontierung einer Jahreszahlung, die in Abschnitt C-2 dieses Kapitels vorgestellt wurde als

BP = C ((1 - (1 + i)^-n) / i) + P (1 + i)^-n

Nimmt die Fälligkeit zu, dann nimmt (1+i)^-n ab. Der gegenwärtige Wert der Kapitalsumme "P" wird unerheblich und er Anleihewert ist der gleiche wie der gegenwärtige Wert der Renditezahlungen des Coupons, welches zu "C/i" hin tendiert. Der mathematische Nachweis hierfür ist reichlich kompliziert, weil der diskontierte Wert der Kapitalsumme und der des Coupons sich in gegenläufige Richtungen bewegen, deshalb benutzen wir hier eine vereinfachte Demonstration. Zwei Formeln mit Extremwerten und mit einem Zahlenbeispiel sollen die Beziehungen untereinander klar machen.

Zuerst nehmen wir eine sehr kurze Laufzeit. Hat der Vermögenswert eine Laufzeit von einem Jahr mit einem Zinsveränderungsfaktor "d", ändert sich der Preis wie folgt

(P1-P0)/P0 = P1/P0 -1 = ((P/(1+di)) / (P/(1+i))) - 1

= (1+i)/(1+di) - 1

Jetzt nehmen wir eine lange Laufzeit. Hat der Vermögenswert eine unendliche Laufzeit, verursacht dieselbe Zinsveränderung "d" die folgende Preisveränderung< /P>

(P1-P0)/P0 = P1/P0 -1 = ((P/di) / (P/i)) - 1

= 1/d -1

Um die Beziehung zwischen dem Ausmaß der Preisveränderung und der Laufzeit zu illustrieren, zeigt die Grafik G-2.2 unten die relative Preisänderung einer $10.000 Anleihe mit einem Coupon von $1.000, einer Laufzeit bis zu 50 Jahren und einem Zinsreduzierungsfaktor von 90% (d.h. die Zinsen fallen von 0,1 auf 0,09) Grafik G-2.2 Die Grafik G-2.2 zeigt: verbleibt der Anleihe ein Jahr bis zur Fälligkeit, dann beträgt die Preisveränderung weniger als 1% (oder (1.1/1.09)-1=0.009174) um ganz genau zu sein). Nimmt die Anzahl der Jahre bis zur Fälligkeit zu, erhöht sich auch der Preis und steigt asymptotisch bis maximal etwas über 11% (oder genau (1/0.9)-1=0.11111).

Man sollte beachten, dass die Preisveränderungen für die in diesem Beispiel gewählten Werte nicht bedeutungslos sind: Bei einer Zinsreduzierung von nur 0,01 ist die Preisveränderung einer Anleihe mit einer Laufzeit von mehr als 20 Jahren zehn Mal größer als die Preisveränderung einer Anleihe die weniger als zwei Jahre bis zur Fälligkeit braucht. Diese Beziehung stimmt für alle Werte, die Couponzinsen, Verzinsung bis zur Fälligkeit, und Zinsveränderung betreffen.

4- Das direkte Verhältnis zwischen Preisveränderung und Fälligkeit

Zinsrisiko misst man mittels der Veränderung des Portfoliowertes, die durch eine Zinsveränderung entsteht. Diese Beziehung ist die unmittelbare Folge unsers vorigen Lehrsatzes: Je länger die Laufzeiten in einem Portfolio desto größer werden die Preisveränderungen auf Grund von Zinsveränderungen, und dementsprechend auch das Zinsrisiko.

5- Die Größe einer Anleiheprämie (oder Nachlass) ist eine Funktion des Überschusses (oder Verringerung) der Couponrate gegenüber der Rendite bis zur Fälligkeit

Die Anleiheprämie (oder Nachlass) "Pr" ist der Unterschied zwischen dem Anleihewert "BV" und dem Nennwert "P"

Pr = BV - P

Ersetzen wir den Anleihewert mit der vorher benutzten Formel in Abschnitt C-2 dieses Kapitels Und setzen wir an die Stelle des Coupons "C" das Produkt von Nennwert "P" mit der Couponrate "CR"

Pr = P.CR ((1 - (1 + i)^-n) / i) + P (1 + i)^-n - P

so beträgt die relative Höhe der Prämie/Nachlass über dem Nennwert PR/P

Pr/P = CR ((1 - (1 + i)^-n) / i) + (1 + i)^-n - 1

oder vereinfacht

Pr/P = (CR - i) (1 - (1 + i)^-n) / i

Deshalb ist Pr/P tatsächlich eine Funktion des Unterschiedes zwischen der Couponrate und dem Marktzins Cr-i.

Folgerung: eine Anleihe wird mit einer Prämie verkauft, wenn die Couponrate höher als der Marktzins ist. Eine Anleihe wird mit einem Diskont verkauft, wenn die Couponrate unter dem Marktzins liegt.

In der Grafik G-2.3 wird die relative Höhe der Prämie oder des Diskonts für alle Marktzinsen von 0,01 bis 0,21 für eine Anleihe mit einer Couponrate von 0,1 und einer Laufzeit von 10 Jahren gezeigt. Bei einem Marktzins von 0,1 gibt es weder eine Prämie noch einen Nachlass. Grafik G-2.3

Diese Beziehung gilt immer.

Die Höhe der Anleiheprämie oder Nachlasses ist eine direkte Funktion der Laufzeit

In der oben erwähnten relativen Prämium- (oder Nachlass) Formel

Pr/P = (CR - i) (1 - (1 + i)^-n) / i

sehen wir, je größer "n" ist, desto kleiner ist (1 + i)^-n, je größer (1 - (1 + i)^-n) / i und konsequenterweise ist ebenfalls die gesamte relative Prämie oder der Diskont größer. Für eine Anleihe ohne Laufzeitbegrenzung und "n" gleich unendlich, beträgt die relative Prämie

Pr/P = (CR - i)/i = CR/i -1

Die unten gezeigte Grafik G-2.4 zeigt die relative Höhe der Prämie gemessen als eine Prämie des Nennwertes für eine Anleihe mit einer Couponrate von 0,01, einer Verzinsung bis zur Fälligkeit von 0,09 und einer Laufzeit von 1 bis 57 Jahren. Grafik G-2.4

Diese Beziehung gilt immer.

7- Der Preis nähert sich dem Nennwert, wenn sich die Fälligkeit nähert.

Diese Beziehung ist im Grunde die gleiche wie die vorherige. Es ist trotzdem nützlich sie nochmals zu erwähnen, denn sie zeigt sehr klar die Entwicklung des Anleihewertes über eine gewisse Zeitspanne.

Die Grafik G-2.5 zeigt den Anleihewert so wie er sich der Fälligkeit nähert, mit einer Couponrate von 10% und einer Verzinsung bis zur Fälligkeit von 9%. Bei Fälligkeit ist der Wert der Anleihe natürlich gleich dem Nennwert von $ 10.000. Grafik G-2.5

Außerdem bezieht sich der laufende Ertrag lediglich auf das Coupon Einkommen, doch die Verzinsung bis zur Fälligkeit beinhaltet zusätzlich den Wertzuwachs (und wir wissen, dass sich der Preis notwendigerweise erhöht - nach Lehrsatz 7 - je näher die Fälligkeit rückt). Deshalb ist für eine Anleihe, die mit einem Nachlass verkauft wird, der laufende Ertrag geringer als die Verzinsung bis zur Fälligkeit. Kombinieren wir die zwei Ungleichheiten: