© 2000 John Petroff; Übersetzung 2006 Hans H. Knauf

2)- Renten

Wie aus der oben erwähnten allgemeinen Formel unter Abschnitt A ersichtlich, besteht eine Bewertung aus einer Summe von zukünftigen Beträgen. Sind die zukünftigen Beträge alle die gleichen, so nennt man sie Renten. In der Versicherungmathematik gibt es Methoden mit denen man praktisch und schnell die gewünschten Ergebnisse erreichen kann. Der zukünftige Wert einer Rente wird wie folgt geschrieben:

FVA = A(1+i) + A(1+i)2 + ... + A(1+i)n

oder FVA = A [ (1+i) + (1+i)2 + ... + (1+i)n ]

Die Summe in den Additionsklammern können vereinfacht werden(Anhang) und daraus ergibt sich

FVA = A ((1+i)n - 1)/i

Der gegenwärtige Wert einer Rente wird wie folgt geschrieben:

PVA = A/(1+i) + A/(1+i)2 + ... + A/(1+i)n

or PVA = A [ 1/(1+i) + 1/(1+i)2 + ... + 1/(1+i)n ]

Die Summen in den Additionsklammern können ebenfalls vereinfacht werden (Appendix) und daraus ergibt sich

PVA = A/ (1 - (1+i)-n)/i

Aktuarische Versicherungstabellen enthalten praktische, vorkalkulierte Faktoren für zukünftige Rentenwerte

FVAF = ((1+i)n - 1)/i

und gegenwärtige Rentenwerte

PVAF = (1 - (1+i)-n)/i

Diese Formeln wollen wir jetzt einmal mit ein paar einfachen Beispielen deutlich machen. Ein Sparer zahlt 20 Jahre lang jedes Jahr $500 auf sein Sparbuch ein und erhält 8% Zinsen pro Jahr. Welchen Betrag kann er nach Ablauf dieser Zeit erwarten? Die Antwort ist

FVA = 500 ((1 + 0.8)20 - 1) / .08 = 500 x 45.762 = $22,881

Der Faktor für eine zukünftige Rente mit 8% und 20 Jahren ist 45.762 und ergibt natürliche dasselbe Ergebnis

FVA = 500 x 45.762 = $22.881

Ein festvezinsliches Wertpapier hat einen Coupon von „C”, und das stellt eine Rente dar, und einen Wert von „P” bei Fälligkeit. Der Wert „BP” ist die Summe des heutigen Wertes von beiden

BP = C ((1 - (1 + i)-n) / i) + P (1 + i)-n

In 1995 überlegt ein Bondholder von ATT 6 ¾ 2005 ihre Anteile von $10.000 zu verkaufen. Wie hoch ist der Verkaufspreis, wenn der gegenwärtige Ertrag von vergleichbaren Bonds 7% beträgt, der Coupon $675 (oder 10000 x 0,0675) wird jährlich bezahlt, der erste Coupon ist genau in einem Jahr fällig und der 10. letzte Coupon zusammen mit dem Kapitalbetrag genau in 10 Jahren? Der Bond Verkaufspreis „BP” beträgt

BP = 675((1 - (1 + 0.07)-10 ) / 0.07) + 10000 / (1 + 0.07)10

= 675 x 7.0236 + 10000 x 0.5083 = $9,823.93

Mit Faktoren zu rechnen ist schnell und bequem, solange die Zinsen runde Zahlen sind und die Rente jährlich und die erste genau ein Jahr später bezahlt werden. Ist das nicht der Fall, müssen zusätzliche Schritte unternommen werden. Sind die Zinsen keine runde Zahl, können Faktoren aus versicherungs mathematischen Büchern, die in manchen Büchereien vorhanden sind, benutzt werden. Interpolation von Faktoren durch Benutzung von Zinsfaktoren über und unter dem gegebenen Zinssatz zeigen ein ungefähres Ergebnis. Für die meisten Analysten ist jedoch die Investition in einen Finanzrechner nützlich, der sofort greifbare Ergebnisse liefert und die beste Alternative darstellt. Wenn die erste Rentenzahlung in weniger als einem Jahr stattfindet, sind zwei Schritte notwendig: Berechnung des gegenwärtigen oder zukünftigen Rentenwertes, dann die aufgelaufenen Zinsen für die Anzahl der Tage seit der letzten Couponzahlung addieren.

In diesen Formeln kann man auch eine zwischenjährliche Zinseszins Berechnung benutzen: Wie vorher, dividieren Sie die Zinsen durch die Zahl „m”, die angibt wieviel Mal die Zinsen im Laufe des Jahres berechnet werden, und multiplizieren Sie diese Zahl mit der Anzahl der Jahre „m” Der Preis „BP” für den Bond beträgt

BP = C ((1 - (1 + (i / m))-mn) / (i / m)) + P (1 + i / m)-mn

Die meisten Bonds zahlen alle halbe Jahre, „m” gleich 2, und der Bondpreis ist

BP = C ((1 - (1 + (i / 2))-2n) / (i / 2)) + P (1 + i / 2)-2n

Ein Beispiel einer Bondkalkulation befindet sich in Kapitel 3 Abschnitt A-1.

A NAME="anchor352964">Wird angenommen, dass die Rente immer weiter bezahlt wird, dann kann der gegenwärtige Wert der Rente vereinfacht werden (sehen Sie sich dazu Anhang an Als Beweis einer Vereinfachung)

PVA = A / i

Nehmen Sie als Beispiel einmal eine „Consol” (ein Bond, der auf Lebenszeit ausgestellt ist, eine Seltenheit aber immernoch in England benutzt) mit einem Jahrescoupon von $40 und einem Ertrag von 2,5% vergleichbarer Ausgaben. Der Wert einer solchen Consol beträgt/P>

CV = 40 / 0.025 = $1,600

Wird angenommen, dass der zukünftig zu zahlende jährliche Betrag um einem Prozentsatz „g” wächst, dann errechnet sich der gegenwärtige Wert dieser Reihe von Zahlungen so:

PVA = A / (i - g)

Die Versicherungs Mathematik behandelt noch viele andere Finanzprobleme, doch werden wir in diesem Buch hauptsächlich die hier vorgestellten vereinfachten Formeln verwenden. Wie in der Einführung bereits angedeutet, gibt es so viele Annäherungswerte für die Schätzungen von zukünftigen Verkaufserlösen, Kosten und Diskontsätzen, dass die Ungenauigkeit dieser Einschätzungen die Präzision, die durch die Benutzung der Versicherungs Mathematik erreicht werden kann, in den meisten Finanzanalysen überflüssig macht. Aber das stimmt nur für die analytische Phase. Sind erst einmal alle Elemente einer Bewertung (das sind die zu zahlenden Zinssätze, Daten und Beträge jeder Zahlung) festgelegt, zum Beispiel in einem Darlehensvertrag, oder beim Verkauf eines vorher ausgegebenem Papiers, dann bestimmen die beiden Parteien (d.h. der Kreditnehmer und –geber, oder Käufer und Verkäufer) die zu zahlenden Beträge ganz genau bis auf den letzten Pfennig, wobei die oben vorgestellten versicherungsmathematischen Formeln verwandt werden.

Wiederholungsfragen: Q-2C2.1 bis Q-2C2.15.

Hausaufgaben: R-2C.1 und R-2C.2.

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Zuletzt geändert: Juni/01/01
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